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By Antoine Chambert-Loir

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Pour tout −1 i, la relation s i s j s−1 i s j ∈ R entraîne que x i commute avec chaque x j , donc x j appartient au centralisateur de x i . Puisque c’est un sous-groupe de G(S; R), 50 CHAPITRE 2. GROUPES il en découle que le centralisateur de x i est égal à G(S; R), c’est-à-dire que x i appartient au centre de G(S; R). Comme le centre de G(S; R) est un sous-groupe de G(S; R), il est égal à G(S; R) et ce groupe est commutatif. On en déduit alors simplement que g est un homomorphisme de groupes : pour (m1 , .

M n ) appartient à M′ (S)0 et s ⋅ m′ = m. De plus, l’élément m′ donné est l’unique élément de M′ (S)0 tel que s ⋅ m′ = m. Notons alors a ∶ S → S(M′ (S)0 ) l’application qui associe à s ∈ S la permutation m ↦ s ⋅ m ainsi définie. Par la propriété universelle du groupe libre, il existe un unique morphisme de groupes α ∶ F(S) → S(M′ (S)0 ) tel que a = α ○ j. Si x ∈ F(S) et m ∈ M′ (S)0 , on note x ⋅ m = α(x)(m). Vérifions par récurrence sur n que l’on a p(m) ⋅ ε = m pour tout m = (m1 , . . , m n ) ∈ M′ (S)0 .

Le lien entre les deux points de vue consiste à poser φ(a, x) = f (a)(x) pour a ∈ A et x ∈ X. Si B est une partie de A et Y une partie de X, on note parfois B ⋅ Y la partie {b ⋅ y ; b ∈ B, y ∈ Y} de X. 2. — Soit A un monoïde (resp. un groupe) et soit X un ensemble. On définit de façon analogue les opérations à droite de A dans X. C’est un morphisme de A dans le monoïde opposé au monoïde des applications de X dans lui-même, c’est-à-dire une application g ∶ A → F(X; X) telle que g(e) = idX et g(ab)(x) = g(b)(g(a)(x)), pour tous a, b ∈ A et tout x ∈ X.

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Algèbre [Lecture notes]] by Antoine Chambert-Loir


by John
4.3

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